Sound/Waveform

音の波形

振動を数式で理解する

A sin( 2πf t + φ)
これは振動を描く基本的な式です。

t すなわち時刻をパラメータとした式で、

• A は振幅 → 音の大きさ
• f は周波数 → 音の高さ
• φ は位相差

ちなみにこの式は「純音」で、音色を特徴づける要素は存在しません。

さて、2πf t という表現ですが、これは例えば f = 1 の場合、
t = 0 〜 1 で 値が 0〜 2π、つまり、１秒間で１回振動することを意味します。
右上のグラフは、1Hzの波形ということになります。

SIN関数は弧度法を使います。半径１の円の弧の長さを角度に見立てたもので、２πでちょうど一周分、つまり360°を意味します。式の括弧内の「２πf t 」は、「一秒間で f 回転」を表現するためのものです。

参考：SINだけでなぜ振動する ＞ 単位円による三角関数の定義
参考：三角関数を使って円を描くプログラム

可聴周波数

上の図は1Hzでしたが、我々の聴覚に「音」として聞こえるのは、20Hz〜20,000Hz。上の式では、fの値が20〜20,000の範囲のものです。
例えば、

• 調弦につかう音叉の音（A4）　440Hz
• ピアノの中央ハ（C4）の音 261.6256…Hz
• 鈴虫の声　4,500Hzあたりにピーク
  音声電話では帯域が300Hz~3400Hzなので、鈴虫の声は聞こえません。
  
  

倍音合成

周波数 f を基準として、その２倍の周波数 2f をもった音を２倍音といいます。また同様に３倍音・４倍音・・も考えられます。
　楽器の音（シングルノート）は、基本周波数の f に加えて複数の倍音が同時に鳴ることで、その楽器特有の音色をつくっています。倍音の混ざり方で音色がかわることを波形で見てみましょう。以下、Googleのグラフ機能を使ったものです。表示倍率がそれぞれ異なっていますが、横軸xの値が 0〜1 の間でちょうど１回振動、つまり基本周波数は１であることがわかると思います。
　数式からGoogleグラフへもリンクしています。数字を変えて再検索すると、波形が変化する様を直感的に確認できます。

A sin(2πft) + 0.5A sin(2π2ft)
2倍音を半分の振幅で
重ね合わせたものです。

A sin(2πft) + 0.5A sin(2π3ft)
3倍音を半分の振幅で
重ね合わせたものです。

A sin(2πft) + 0.6A sin(2π2ft) + 0.3A sin(2π3ft)
2倍音を60%、3倍音を30%の振幅で
重ね合わせたものです。

音のハモり

ハモるとは、物理的には、高さ（基本周波数）の異なる複数の音で、その整数次倍音に共通の周波数が含まれる場合に成立します。別の言い方をすれば、それらの周波数比が簡単な整数比になることを意味します。
　例えば、５度の音程「ド」と「ソ」では、「ド」の３倍音と「ソ」の２倍音が同じ周波数の音になります。言い換えれば、ドとソの基本周波数の比は２：３という簡単な整数比になっています。
　また例えば、長３度の音程「ド」と「ミ」の周波数比は４：５なので、いわゆるメジャートライアド「ド」「ミ」「ソ」は、４：５：６という比率になり、可聴周波数帯の範囲に複数の共通する倍音を持つことになります。

A sin(2π4ft) + A sin(2π5ft) + A sin(2π6ft)
周波数比４：５：６の３音の重ね合わせ。
音に周期性が見られます。

A sin(2π4ft) + A sin(2π5.1ft) + A sin(2π7.7ft)
複雑な比率の音の組み合わせ。
当然ですが、周期性がなくなります。

ちなみに完全８度、すなわち１オクターブの音程は１：２ですから、「ド」の音を３倍して１オクターブ下げれば「ソ」の音が得られ、その「ソ」を３倍して１オクターブ下げれば「レ」が得られます。このようにして得られた音律（音程調律）は「純正律」と呼ばれるもので、倍音のうなりを伴わない、きれいな和音が得られます。

一方、１オクターブを単純に等比的に分解する調律を「平均律」といいます。移調・転調に対して、相対的な周波数比が保たれるので、現代の音楽では平均律の楽器（ギターが典型）を使うのが普通ですが、純正律のような綺麗な和声は得られません（ちなみにデジタルキーボードには、純正律・ピタゴラス音律・平均律などの音律の変更ができる機種もあります）。