#author("2023-02-02T16:39:05+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko")
*一様分布
Uniform Distribution
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**離散一様分布
離散一様分布とは、確率変数が n 個の値 k1, k2, …, kn について同じ確率でとる場合の分布で、例えば、（正しい）サイコロを振った場合に出る目の分布などがこれにあたります。
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***確率質量関数
-X=k となる確率は、Nを確率変数 Xの取りうる個数とすると・・
#mathjax(P(X=k) = \frac{1}{N} （ k = 1,2,・・・N ）);
-k が a から b までの整数であるとすると・・・
#mathjax(P(X=k) = \frac{1}{b - a + 1} （ k = a, a+1,・・b-1, b ）);
-例えば、「６面体のサイコロを振って５の目が出る確率」は N = 6 なので
#mathjax(P(X=5) = \frac{1}{6} )
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***期待値と分散
-期待値
#mathjax(E(X) = \frac{N + 1}{2} あるいは E(X) = \frac{a + b}{2})
-分散
#mathjax(V(X) = \frac{N^2 - 1}{12} あるいは V(X) = \frac{(b - a + 1)^2 -1}{12})
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**連続一様分布
連続一様分布とは、確率変数の任意の値に対して、確率密度関数が一定の値をとる分布のことをいいます。例えば、プログラミング等で使う RAND( ) 関数は、 0.0 ≦ X ＜ 1.0 の範囲の連続一様分布乱数を発生します。
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***確率密度関数
確率変数 X が、&mathjax(a \leq X \leq b); における連続一様分布に従うとき・・・
#mathjax(f(x) = \frac{1}{b-a} （ a \leq X \leq b ）)
#mathjax(f(x) = 0 （ X \leq a , b \leq X ）)
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***累積分布関数
連続一様分布の場合は、確率の計算に注意が必要です。例えば、「5.0 ~ 1.0 の間で一様な連続分布において 7.0 が出る確率」は実質的に 0 です。確率を求めるには累積分布関数を用いて「面積」を求める必要があります。
-累積確率は以下のように書けます。
#mathjax( F(x) = 0 （ X < a ）)
#mathjax( F(x) = \frac{x-a}{b-a} （ a \leq X < b ）)
#mathjax( F(x) = 1 （ b \leq X ）)
-例えば、「6.5 〜 7.5 の範囲の値が出る確率」は・・
#mathjax(F( 6.5 \leq X \leq 7.5) = F(X \leq 7.5) - F(X \leq 6.5) = \frac{7.5 - 5.0}{10.0 - 5.0} - \frac{6.5 - 5.0}{10.0 - 5.0} = 0.2)
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***期待値と分散
-期待値
#mathjax(E(X) = \frac{a + b}{2})
-分散
#mathjax(V(X) = \frac{(b - a )^2}{12})
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