Statistics/UniformDistribution

一様分布

Uniform Distribution


一様分布（Uniform Distribution）とは、事象の出現確率が均一（グラフは水平）な分布で、離散型と連続型の区別があります。以下、それぞれ概説します。

離散一様分布

離散一様分布（Discrete Uniform Distribution）とは、確率変数が n 個の値 k1, k2, …, kn について同じ確率でとる場合の分布で、例えば、（正しい）サイコロを振った場合に出る目の分布などがこれにあたります。
Source：Wikimedia Commons File:Dis_Uniform_distribution_PMF

確率質量関数

• Nを確率変数 Xの取りうる個数とすると、X=k となる確率は・・
  \[P(X=k) = \frac{1}{N}　（　k = 1,2,・・・N　）\]

• k が a から b までの整数であるとすると・・・
  \[P(X=k) = \frac{1}{b - a + 1}　（　k = a, a+1,・・b-1, b　）\]

• 例えば、「６面体のサイコロを振って５の目が出る確率」は N = 6 なので
  \[P(X=5) = \frac{1}{6} \]

期待値と分散

• 期待値
  \[E(X) = \frac{N + 1}{2}　あるいは　E(X) = \frac{a + b}{2}\]

• 分散
  \[V(X) = \frac{N^2 - 1}{12}　あるいは　V(X) = \frac{(b - a + 1)^2 -1}{12}\]
  
  
  
  

連続一様分布

連続一様分布（Continuous Uniform Distribution）とは、確率変数の任意の値に対して、確率密度関数が一定の値をとる分布のことをいいます。例えば、プログラミング等で使う RAND( ) 関数は、 0.0 ≦ X ＜ 1.0 の範囲の連続一様分布乱数を発生します。
Source：Wikimedia Commons File:Uniform Distribution PDF SVG.svg

確率密度関数

確率変数 X が、 \(a \leq X \leq b\) における連続一様分布に従うとき・・・

累積分布関数

連続一様分布の場合は、確率の計算に注意が必要です。例えば、「5.0 ~ 1.0 の間で一様な連続分布において 7.0 が出る確率」は実質的に 0 です。確率を求めるには累積分布関数を用いて一定範囲の「面積」を求める必要があります。

• 累積確率は以下のように書けます。
  \[ F(x) = 0　（　X < a　）\]
  \[ F(x) = \frac{x-a}{b-a}　（ a \leq X < b ）\]
  \[ F(x) = 1　（　b \leq X ）\]

• 例えば、「5.0 < X <10.0 における連続一様分布において、6 〜 7 の範囲の値が出る確率」は、以下のように計算されます。
  \[F( 6 \leq X \leq 7) = F(X \leq 7) - F(X \leq 6) = \frac{7.0 - 5.0}{10.0 - 5.0} - \frac{6.0 - 5.0}{10.0 - 5.0} = 0.2\]

期待値と分散

• 期待値
  \[E(X) = \frac{a + b}{2}\]

• 分散
  \[V(X) = \frac{(b - a )^2}{12}\]