記述統計
Descriptive Statistics
記述統計とは、収集したデータを要約(平均、分散などを計算)して対象の特徴・性質を語る統計のことで、2変数の相関を求めたり、クロス集計表を作成したりと、多変量のデータを扱う作業もこれに含まれます。また、データを分かりやすく記述するという意味では、グラフや表を作成したり、グラフや表からから様々な特徴・性質を抽出する作業も記述統計の役割になります。なお、記述統計は、推測統計より古くからあるもので、標本と母集団を同一視して考えます。推測統計の登場後は、古典統計といわれるようにもなりました。
統計量
記述統計における統計量
得られたデータに何らかの計算を行って得られる値を統計量と言います。例えば、平均や分散は代表的な統計量で、具体的な計算について以下の節で順次紹介します。
代表値(measure of central tendency)
データの分布の特徴を表す値
- 平均(mean)
データの総和をデータ数で割った値。もっとも一般的な代表値。\[ \bar{x} = \frac{1}{n}( x_1 + x_2 +・・+ x_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]
- 中央値(median)
データの大きさの順に並べたときにちょうど中央にくる値*1。
- 最頻値(mode)
度数分布において最も高い度数を示す値。
散布度 (dispersion)
データの散らばりぐあいを表す値
- 分散(population variance)
偏差平方和をデータ数で割った値。対象を母集団とする前提です。\[ s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
- 標準偏差(standard deviation)
標準偏差は、分散のルートをとった値。引数を母集団全体であると見なして、母集団の標準偏差を求めます。\[ s = \sqrt{ s^2 } \]
- 平均偏差
偏差(平均からの差)の絶対値の平均。データ全体の平均値に対する個々のデータの絶対偏差の平均を求めます。\[ md = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i -\bar{x}| \]
- 四分位点
四分位点とはデータを昇順に並べたときに 25%, 75% の位置の値です。ボックスプロット(箱髭図)では、箱の上辺・底辺がこれに該当します。
参考:Excelでの関数表記
- 平均(mean)
=AVERAGE(範囲)
- 中央値(median)
=MEDIAN(範囲)
- 最頻値(mode)
=MODE(範囲)
- 分散(population variance)
=VAR.P(範囲)
- 標準偏差(standard deviation)
=STDEV.P(範囲)
- 平均偏差
=AVEDEV(範囲)
- 付記:Excel の関数名について
- XXXX.P(Population)
データを母集団とみなしてそのまま計算した値 - XXXX.S(Sample)
データをサンプルとみなして母集団の値を推定した値
- XXXX.P(Population)