Statistics/ExponentialDistribution

指数分布

Exponential Distribution

指数分布とは、単位時間に平均して λ（ラムダ）回起こる現象が、次に起こるまでの時間 X が従う確率分布です。 \(X 〜 E_x(λ)\) と書きます。
Source：Wikimedia Commons File:Exponential distribution pdf.png

単位時間に平均して λ（ラムダ）回起こる現象とは、言い換えると、１／ λ（単位時間）が X の平均的な値（期待値）になるということで、λ が大きくなるほど、期待値が小さく、グラフは左に寄る・・というイメージになります。

機械が故障してから次に故障するまでの時間や、客が来てから次の客が来るまでの時間などを統計的に扱う場合に、指数分布を使います。

指数分布はポアソン分布と深い関係にあります。ポアソン分布は、単位時間内に事象の起こる回数の確率を表現する一方、指数分布は事象の起こる間隔の確率を表現しています。同じ事象を裏返しに見ているわけで、指数分布の平均が１／ λ になるのは、そのことを示しています。

確率密度関数

指数分布は、単位時間中にある事象が発生する平均回数 λ をパラメータとして、以下のように書けます。

λ というパラメータは、指数分布の確率変数である「時間 X 」の期待値の逆数で、直感的にはわかりにくいので、期待値 μ = 1/λ を利用して、以下のように書く場合もあります。

ちなみに、Python の NumPyライブラリが持っている「指数分布乱数」の解説でも、確率密度関数が期待値（ β = 1/λ ）を使った表現になっていて、 パラメータとしては期待値（β）を渡す形式になっています。
NumPy：numpy.random.exponential

累積分布関数

指数分布はポアソン分布と異なり、連続型の分布なので、実際に確率を計算する場合は、累積確率を計算するのが一般的で、例えば X：0 〜 x の累積確率は、以下のようになります。
Source：Wikimedia Commons File:Exponential distribution cdf.png

例えば、１時間に平均５人の客が来る（λ = 5、客の平均到着間隔は12分）窓口で、次の客が来るまでの間隔が15分（x = 0.25）以内である確率は、以下のように計算できます（単位時間は１時間です）。

期待値と分散

• 期待値
  \[E(x) = μ = \frac{1}{λ}\]

• 分散
  \[V(x) = \frac{1}{λ^2}\]
  
  
  
  

APPENDIX

参考事例：南海トラフ地震が 今後30年以内におこる確率

• 地震の発生がポアソン過程（発生間隔は指数分布）に基づくとします。
• 南海トラフ地震は「約 90 ～ 150 年間隔で繰り返し発生」という話を「平均 120年に１回」＝「１年（単位時間）に 0.00833回」とします。
• 前回発生したのが 1944年の昭和東南海地震・1946年の昭和南海地震（連動する同じもの）とすると、2020年現在で約75年経過しているので「今後30年以内」というのを、話を簡単にするために「前回発生から 105年以内」に置き換えると以下のように計算できます（この75年間で発生していないことを加味すれば、当然「今から30年以内」とは別の数字になるのですが・・）。

• 累積分布関数を用いた累積確率は以下のように計算できます。
  \[ F(\leqq 105) = 1 - e^{-0.00833 \times 105} = 0.58299 \]

• この計算はターミナルから Python を使うと簡単です。

  $ python
  >>> import math
  >>> 1 - math.e**(-0.00833*105)
  0.5829920530788264

• よって「前回発生から105年以内に発生する確率」は約 58%となります。
• ちなみに「120年に１回」なら「120年以内」は 100%かと思いがちですが、もちろんそうではありません。120年として計算すると \(1 - e^{-1.0}\) で 約 63.2%です。
  
  

関連ページ

• Statistics/PoissonDistribution：ポアソン分布
• InversionMethod：逆関数法を用いた指数分布乱数の発生