ポアソン分布
Poisson Distribution
ポアソン分布とは、ある事象が一定の期間内に発生する回数を表す離散型の確率分布です。 二項分布における np を λ とすると「n を十分大きく、p を十分に小さくした場合の二項分布」を「平均 λ のポアソン分布」として近似することができます。
\(X 〜 P_o(λ)\)
と書きます。
Source：Wikimedia Commons File:Poisson distribution PMF.png
パラメータ λ を使って表現すると「単位時間に平均 λ 回起こる現象が、単位時間にX 回起きる確率の分布」、例えば「１時間に平均５人の客が来る窓口で、１時間に３人の客が来る確率」などを計算することができます。
ポアソン分布と指数分布は、ぞれぞれの平均が λ と１／ λ というぐあいに、 裏返しの関係にあります。指数分布が「事象の起こる間隔」を表現する一方、ポアソン分布は「単位時間内に事象の起こる回数」を表現しています。
確率質量関数*1
- 平均 λ のポアソン分布は以下のように書けます。
\[P(X=k) = \frac{e^{-λ} λ^k}{k!} （k = 0,1,2,・・,n）\]
- 例えば、上記の「１時間に平均５人の客が来る窓口で、１時間に３人の客が来る確率」は、以下のように計算できます。
\[P(X=3) = \frac{e^{-5} \times 5^3}{3!} = \frac{0.0067 \times 125}{6} = 0.14\]付記：ポアソン分布は、確率質量関数で示されるので、関数の値がそのまま確率を意味することになります（指数分布の場合は、確率密度関数なので、確率を求めるには一定の範囲で「面積」を求めることが必要になります）。
期待値と分散
- 期待値
\[E(X) = λ\]
- 分散
\[V(X) = λ\]
PoissonDistribution.png
