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InversionMethod のバックアップ(No.2)

逆関数法

Inversion Method

InversionMethod.png

逆関数法（inversion method, inverse transform method）とは、累積分布関数の逆関数を用いて、様々な分布に従う確率変数を生成する手法のことです。コンピュータを用いたシミュレーションでは、プログラム言語に標準的に用意された「標準一様分布に従う乱数（例：Math.random( )」にこの方法を適用して、指数分布やポアソン分布に従う乱数を生成します。
Source：Wikimedia Commons File:Inversion method.svg

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原理

連続型の確率密度関数 f(x) を −∞ から x までを定積分すると、累積分布関数 F(x) が得られます。

NormalDistribution.png
NormalDistributionCDF.png
確率密度関数 f(x)累積分布関数 F(x)

Wikimedia Commons： Normal Distribution PDF.svg ,　Normal Distribution CDF.svg

F(x) は 0.0 〜 1.0 まで単調に増加するのが一般的で、 f(x) において、分布の山にあたる部分では、 F(x) は急激な上昇、分布の裾野にあたる部分では、 F(x) はゆっくりと上昇します。

y軸側から標準一様乱数（0.0 〜 1.0）を「ぶつける」とすれば、急激な上昇をする箇所（もとの分布では山にあたる部分）の範囲が広く「当たりやすい」。結果、得られる x が密になる（分布の山になる）、つまり、この x は f(x) に従う乱数として使うことができる・・というのが直感的な説明です。

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事例｜指数乱数

事例として、指数分布 X〜Ex(λ) に従う乱数の生成について概説します。

ExponentialDistribution.png

指数分布の確率密度関数は、右のようなグラフで、これを関数式で書くと以下のようになります。
Source：Wikimedia Commons File:Exponential distribution pdf.png

f(x)=λe−λx　（　x≥0　）


ExponentialDistributionCDF.png

指数分布の累積分布関数は、右のようなグラフで、これを関数式で書くと以下のようになります。
Source：Wikimedia Commons File:Exponential distribution cdf.png

F(x)=1−e−λx

この逆関数は、 F−1(x)=−1λln⁡(1−y) で、 X=−1λln⁡(1−U) となります。 1−U は、実質的に U と同じになるため、高速化のためにこれを簡略化して、以下の式が得られます。

X=−1λln⁡(U)

註）：Uは、標準一様分布の確率変数で、0.0 〜 1.0 の値を取ります。
註）：ln は e = 2.71828182...を底とする 自然対数（natural logarithm）です。

指数分布のパラメータ λ は、確率変数 X の 期待値 （1 / λ）の逆数にあたるもので、直感的にわかりにくいので、期待値を μ=1/λ として、以下のように書く方がわかりやすいかもしれません。

X=−μln⁡(U)


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指数乱数のプログラム例




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APPENDIX

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