#author("2024-11-18T16:54:36+09:00;2023-11-19T18:05:55+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko") #author("2024-11-18T16:56:31+09:00;2023-11-19T18:05:55+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko") *t分布 Students T-Distribution ~ ***t分布の定義 //#image(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/T_distribution_2df_enhanced.svg/768px-T_distribution_2df_enhanced.svg.png,right,35%) //&scale(75){Source：[[Wikimedia Commons File:T distribution 2df enhanced.svg>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:T_distribution_2df_enhanced.svg]]}; n個の確率変数 &mathjax( x_1, x_2,・・x_n); がすべて独立で、&mathjax(N(μ,σ^2)); に従うとき、以下の統計量 t は 自由度 n-1 の t分布に従う・・と定義されています。 #mathjax( t = \frac{\bar{x} -μ}{ \frac{s}{\sqrt{n}}} ) -&mathjax(\bar{x});：標本平均 -&mathjax(μ);：母平均 -&mathjax(s);：不偏標準偏差（母集団の推定値）&mathjax(s = \sqrt{ \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} ); -&mathjax(n);：サンプルサイズ（データ数） ~ ***統計量 t の計算式が意味するもの 統計量 t の値の計算式は、要するに「サンプルの平均と母集団平均の差」を見ているわけで、t の度数分布は、0を平均として左右対称になるであろうことは、直感的に想像できるかと思います。 統計量 t は、要するに「標本平均と母集団平均の差」を見ているわけで、t の度数分布は、0を平均として左右対称になるであろうことは、直感的に想像できるかと思います。 統計量 t の計算式の分子の部分は「母集団平均&mathjax(μ);と標本平均&mathjax(\bar{x});の差」で、標本サイズ n が大きくなればその絶対値は小さくなります。同様に分母の部分も、標本サイズ n が大きくなれば値が小さくなります。結果、n の値が異なっても（言い換えれば、自由度 df = n-1 が異なったとしても）、統計量 t の分布グラフの大きさ・形はそれほど変わるものではありません（下記「描画例」参照）。 ~ ***描画例 以下、Python の統計関数（SciPy.stats）を使って自由度 1, 3, 5 の t分布と正規分布を描画したものです。先述したとおり、自由度（df = n-1）が変わっても、グラフが大きく異なることはありません。 #image(T-Distribution.jpg,right,40%) # ライブラリの読み込み import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy import stats # データ列の準備(-3 ~ 3 の間で100個) x = np.linspace(-3, 3, 100) # t分布関数グラフの描画 for df in range(1, 6, 2): t = stats.t.pdf(x, df) plt.plot(x, t, label=f"df={df}") # 正規分布関数グラフの描画 n = stats.norm.pdf(x) plt.plot(x,n, label=f"normal") # 凡例を表示 plt.legend() ~ ***t分布の特徴 -t分布は、正規分布と同様に左右対称の形状をしていて、標準正規分布（z分布）と同様に平均値は 0 です。 -標準正規分布 &mathjax(N(0,1));はパラメータなしに一意に定まる確率分布ですが、t 分布は母標準偏差が既知であることを前提とせず、自由度（df：Degree of Freedom）をパラメータとして定義されます。自由度は n-1 とされており、これは標本サイズ n に関連しています。 -t の確率分布から、母平均 &mathjax(μ);の確率分布を求めることができるので、これによって &mathjax(μ);の区間推定や、__[[t検定>Statistics/t-test]]__ すなわち、２群の平均値の差の検定などを行うことができます。 -t分布は、標本サイズが小さい場合や、母標準偏差がわからない場合、またはその両方の場合に最も有効です。 -標本サイズが大きくなると、t分布は正規分布に似てきます。 ~ ~ ~