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Statistics/UniformDistribution の変更点


#author("2023-02-03T09:42:39+09:00;2023-02-03T09:41:02+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko")
#author("2023-02-03T09:43:18+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko")
*一様分布
Uniform Distribution
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一様分布(Uniform Distribution)とは、事象の出現確率が均一(グラフは水平)な分布で、離散型と連続型の区別があります。以下、それぞれ概説します。
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**離散一様分布
#image(DiscreteUniformDistribution.png,right,30%)
離散一様分布(Discrete Uniform Distribution)とは、確率変数が n 個の値 k1, k2, …, kn について同じ確率でとる場合の分布で、例えば、(正しい)サイコロを振った場合に出る目の分布などがこれにあたります。
&scale(75){Source:[[Wikimedia Commons File:Dis_Uniform_distribution_PMF>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dis_Uniform_distribution_PMF.svg]]};
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***確率質量関数
-Nを確率変数 Xの取りうる個数とすると、X=k となる確率は・・
#mathjax(P(X=k)  = \frac{1}{N} ( k = 1,2,・・・N ));

-k が a から b までの整数であるとすると・・・
#mathjax(P(X=k)  = \frac{1}{b - a + 1} ( k = a, a+1,・・b-1, b ));

-例えば、「6面体のサイコロを振って5の目が出る確率」は N = 6 なので
#mathjax(P(X=5)  = \frac{1}{6} ) 

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***期待値と分散
-期待値
#mathjax(E(X)  = \frac{N + 1}{2} あるいは E(X)  = \frac{a + b}{2})

-分散
#mathjax(V(X)  = \frac{N^2 - 1}{12} あるいは V(X)  = \frac{(b - a + 1)^2 -1}{12})
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**連続一様分布
#image(ContinuousUniformDistribution.png,right,30%)
連続一様分布(Continuous Uniform Distribution)とは、確率変数の任意の値に対して、確率密度関数が一定の値をとる分布のことをいいます。例えば、プログラミング等で使う RAND( ) 関数は、 0.0 ≦ X < 1.0 の範囲の連続一様分布乱数を発生します。
&scale(75){Source:[[Wikimedia Commons File:Uniform Distribution PDF SVG.svg>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Uniform_Distribution_PDF_SVG.svg]]};
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***確率密度関数
確率変数 X が、&mathjax(a \leq X \leq b); における連続一様分布に従うとき・・・
#mathjax(f(x) = \frac{1}{b-a} ( a \leq X \leq b ))
#mathjax(f(x) = 0 ( X \leq a , b \leq X ))
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***累積分布関数
連続一様分布の場合は、確率の計算に注意が必要です。例えば、「5.0 ~ 1.0 の間で一様な連続分布において 7.0 が出る確率」は実質的に 0 です。確率を求めるには累積分布関数を用いて一定範囲の「面積」を求める必要があります。

-累積確率は以下のように書けます。
#mathjax( F(x) = 0 ( X < a ))
#mathjax( F(x) = \frac{x-a}{b-a} ( a \leq X < b ))
#mathjax( F(x) = 1 ( b \leq X ))

-例えば、「5.0 < X <10.0 における連続一様分布において、6 〜 7 の範囲の値が出る確率」は、以下のように計算されます。
#mathjax(F( 6 \leq X \leq 7)  = F(X \leq 7) - F(X \leq 6) = \frac{7.0 - 5.0}{10.0 - 5.0} - \frac{6.0 - 5.0}{10.0 - 5.0}  = 0.2) 

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***期待値と分散
-期待値
#mathjax(E(X)  = \frac{a + b}{2})

-分散
#mathjax(V(X)  = \frac{(b - a )^2}{12})
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