#author("2023-02-03T09:42:39+09:00;2023-02-03T09:41:02+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko") #author("2023-02-03T09:43:18+09:00","default:inoue.ko","inoue.ko") *一様分布 Uniform Distribution ~ 一様分布（Uniform Distribution）とは、事象の出現確率が均一（グラフは水平）な分布で、離散型と連続型の区別があります。以下、それぞれ概説します。 ~ ~ **離散一様分布 #image(DiscreteUniformDistribution.png,right,30%) 離散一様分布（Discrete Uniform Distribution）とは、確率変数が n 個の値 k1, k2, …, kn について同じ確率でとる場合の分布で、例えば、（正しい）サイコロを振った場合に出る目の分布などがこれにあたります。 &scale(75){Source：[[Wikimedia Commons File:Dis_Uniform_distribution_PMF>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dis_Uniform_distribution_PMF.svg]]}; ~ ***確率質量関数 -Nを確率変数 Xの取りうる個数とすると、X=k となる確率は・・ #mathjax(P(X=k) = \frac{1}{N} （ k = 1,2,・・・N ）); -k が a から b までの整数であるとすると・・・ #mathjax(P(X=k) = \frac{1}{b - a + 1} （ k = a, a+1,・・b-1, b ）); -例えば、「６面体のサイコロを振って５の目が出る確率」は N = 6 なので #mathjax(P(X=5) = \frac{1}{6} ) ~ ***期待値と分散 -期待値 #mathjax(E(X) = \frac{N + 1}{2} あるいは E(X) = \frac{a + b}{2}) -分散 #mathjax(V(X) = \frac{N^2 - 1}{12} あるいは V(X) = \frac{(b - a + 1)^2 -1}{12}) ~ ~ **連続一様分布 #image(ContinuousUniformDistribution.png,right,30%) 連続一様分布（Continuous Uniform Distribution）とは、確率変数の任意の値に対して、確率密度関数が一定の値をとる分布のことをいいます。例えば、プログラミング等で使う RAND( ) 関数は、 0.0 ≦ X ＜ 1.0 の範囲の連続一様分布乱数を発生します。 &scale(75){Source：[[Wikimedia Commons File:Uniform Distribution PDF SVG.svg>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Uniform_Distribution_PDF_SVG.svg]]}; ~ ***確率密度関数 確率変数 X が、&mathjax(a \leq X \leq b); における連続一様分布に従うとき・・・ #mathjax(f(x) = \frac{1}{b-a} （ a \leq X \leq b ）) #mathjax(f(x) = 0 （ X \leq a , b \leq X ）) ~ ***累積分布関数 連続一様分布の場合は、確率の計算に注意が必要です。例えば、「5.0 ~ 1.0 の間で一様な連続分布において 7.0 が出る確率」は実質的に 0 です。確率を求めるには累積分布関数を用いて一定範囲の「面積」を求める必要があります。 -累積確率は以下のように書けます。 #mathjax( F(x) = 0 （ X < a ）) #mathjax( F(x) = \frac{x-a}{b-a} （ a \leq X < b ）) #mathjax( F(x) = 1 （ b \leq X ）) -例えば、「5.0 < X <10.0 における連続一様分布において、6 〜 7 の範囲の値が出る確率」は、以下のように計算されます。 #mathjax(F( 6 \leq X \leq 7) = F(X \leq 7) - F(X \leq 6) = \frac{7.0 - 5.0}{10.0 - 5.0} - \frac{6.0 - 5.0}{10.0 - 5.0} = 0.2) ~ ***期待値と分散 -期待値 #mathjax(E(X) = \frac{a + b}{2}) -分散 #mathjax(V(X) = \frac{(b - a )^2}{12}) ~ ~ ~