Statistics/ExponentialDistribution のバックアップ(No.3)

指数分布

Exponential Distribution

指数分布とは、単位時間に平均して λ（ラムダ）回起こる現象が、次に起こるまでの時間 X が従う確率分布です。 \(X 〜 E_x(λ)\) と書きます。
Source：Wikimedia Commons File:Exponential distribution pdf.png

機械が故障してから次に故障するまでの期間や、客が来てから次の客が来るまでの時間などがこれにあたります。

指数分布はポアソン分布と深い関係にあります。ポアソン分布は、単位時間内に事象の起こる回数の確率を表現する一方、指数分布は事象の起こる間隔の確率を表現しています。同じ事象を裏返しに見ているわけで、指数分布の平均が１／ λ になるのは、そのことを示しています。

指数分布は、単位時間中にある事象が発生する平均回数 λ をパラメータとして、以下のように書けます。

\[ f(x) = λ e^{-λx}　（　x \geq 0　）\]

\[ f(x) = 0　（　x < 0　）\]

指数分布はポアソン分布と異なり、連続型の分布なので、実際に確率を計算する場合は、累積確率を計算するのが一般的で、例えば X：0 〜 x の累積確率は、以下のようになります。
Source：Wikimedia Commons File:Exponential distribution cdf.png

\[ F(\leqq x) = 1 - e^{-λx} \]

例えば、１時間に平均５人の客が来る（λ = 5、客の平均到着間隔は12分）窓口で、次の客が来るまでの間隔が15分（x = 0.25）以内である確率は、以下のように計算できます（単位時間は１時間です）。

\[ F(\leqq 0.25) = 1 - e^{-5 \times 0.25} = 1 - 0.286 = 0.714 \]