PositionalNotation のバックアップ(No.2)

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  • 1 (2019-07-05 (金) 20:51:18)
  • 2 (2023-09-19 (火) 16:43:27)
  • 3 (2023-10-12 (木) 12:42:52)
  • 4 (2024-10-24 (木) 15:27:56)

位取り記数法

N 種類の記号によって数を表す方法

私たちは数を表現するのに 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 の10個の記号を使っています。一般に十進法といいますが、特にこれでなければいけない・・ということはなく、「記号N個で数を表現することにしましょう。」とみんなでルールを決めてしまえば、実は何の不自由もなく、数を表現することができます。十進法が世界に広まったのはフランス革命の革命政府がメートル法とともに十進法を定めて以来と言われていて、それ以前は様々な表現が用いられていました。
　なぜ10進数がメジャーになったのか、強いていえば人間の手の指の数が両手で10本あるということ・・。特に10進法が優秀な記法であるというわけではありません。まずその呪縛から意識を解放することが、この先の理解に必要です。

一般記法

N進法（N個の記号を使う）の ABC.DE という数は、以下のような意味をもつものとしてして表現されます。これを計算すると10進数での表現が得られます。

具体例

• 10進法：使う記号は、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 の10個。
  例えば、10進法の 256.34 は以下のように書けます。
  \[2\times10^2 + 5\times10^1 + 6\times10^0 + 3\times10^{-1} + 4\times 10^{-2}\]

• ５進法：使う記号は、0,1,2,3,4 の5個。
  例えば、５進法の 231.24 は以下のように書けます。
  \[2\times5^2 + 3\times5^1 + 1\times5^0 + 2\times5^{-1} + 4\times 5^{-2}\]
  \[ = 2\times25 + 3\times5 + 1 + 2\times0.2 + 4\times0.04 = 66.56\]

• 例えば、46個の記号（あいう・・わをん）を使った かきく.け は、
  あ,い,う・・ を 0, 1, 2・・として計算すると・・
  \[か\times46^2 + き\times46^1 + く\times46^0 + け\times46^{-1} \]
  \[= 5\times2116 + 6\times46 + 7 + 8\times0.02174 = 10863.173\]
  
  

２進法｜（ 0, 1 ）

コンピュータの世界でおなじみの表現です。コンピュータ、日本語にすると電子計算機ですが、その電子回路の中では、電圧の高低（電流のON/OFF）によって信号が処理されています。したがって数（データ）の表現には、それを１と０に対応させる２進法が利用されます。

• 例えば、4桁の２進数 1101 は、10進数の13を意味します。
  \[1\times2^3 + 1\times2^2 + 0\times2^1 + 1\times2^0\]
  \[= 1\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 13\]

• 参考：２進シリアルデータのイメージ
  
  

16進法

これもコンピュータの世界でおなじみの表現です。２進４桁分でちょうど16進１桁に相当するので、２進数表記の代用としてよく用いられます。

• 使う記号は16個　0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F です。
• 4桁の16進数 F52A は、10進数の 62,762 を意味します。
  \[F \times16^3 + 5\times16^2 + 2\times16^1 + A\times16^0\]
  \[= 15 \times4096 + 5\times256 + 2\times16 + A \times1 = 62,762\]

• 色を表すRGB値にはこの16進数が用いられます。例えば、
  • #00 00 00 は、R:0 G:0 B:0 で黒
  • #FF FF FF は、R:255 G:255 B:255 で白
  • #FF 00 FF は、R:255 G:0 B:255 でマゼンタ

#記号は「それが16進数である」・・という意味です。

• 参考：Webカラー：色名と16進表記の対応