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t分布

Students T-Distribution

t分布の定義

n個の確率変数 $x_1,x_2,\mathrm{・}\mathrm{・}{x}_n$ がすべて独立で、 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 　に従うとき、以下の統計量 t は 自由度 n-1 の t分布に従う・・と定義されています。

• $\overline{x}$ ：標本平均
• $\mu$ ：母平均
• $s$ ：不偏標準偏差（母集団の推定値） $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$
• $n$ ：サンプルサイズ（データ数）
  
  

t分布の特徴

• t分布は、正規分布と同様に左右対称の形状をしていて、標準正規分布（z分布）と同様に平均値は 0 です。

• 標準正規分布 $N(0,1)$ はパラメータなしに一意に定まる確率分布ですが、t 分布は母標準偏差が既知であることを前提とせず、自由度（df：Degree of Freedom）をパラメータとして定義されます。自由度は n-1 とされており、これは標本サイズ n に関連しています。

• t の確率分布から、母平均 $\mu$ の確率分布を求めることができるので、これによって $\mu$ の区間推定や、t検定 すなわち、２群の平均値の差の検定などを行うことができます。

• t分布は、標本サイズが小さい場合や、母標準偏差がわからない場合、またはその両方の場合に最も有効です。

• 標本サイズが大きくなると、t分布は正規分布に似てきます。
  
  

描画例

以下、Python の統計関数（SciPy.stats）を使って自由度 1, 3, 5 の t分布と正規分布を描画したものです。自由度が大きくなると、t分布は正規分布に近づくことがわかります。

# ライブラリの読み込み
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# データ列の準備(-3 ~ 3 の間で100個)
x = np.linspace(-3, 3, 100)

# t分布関数グラフの描画
for df in range(1, 6, 2):
    t = stats.t.pdf(x, df)
    plt.plot(x, t, label=f"df={df}")

# 正規分布関数グラフの描画
n = stats.norm.pdf(x)
plt.plot(x,n, label=f"normal")

# 凡例を表示
plt.legend()