記述統計
Descriptive Statistics
記述統計とは、収集したデータを要約（平均、分散などを計算）して対象の特徴・性質を語る統計のことで、２変数の相関を求めたり、クロス集計表を作成したりと、多変量のデータを扱う作業もこれに含まれます。また、データを分かりやすく記述するという意味では、グラフや表を作成したり、グラフや表からから様々な特徴・性質を抽出する作業も記述統計の役割になります。なお、記述統計は、推測統計より古くからあるもので、標本と母集団を同一視して考えます。推測統計の登場後は、古典統計といわれるようにもなりました。
統計量
記述統計における統計量
得られたデータに何らかの計算を行って得られる値を統計量と言います。例えば、平均や分散は代表的な統計量で、具体的な計算について以下の節で順次紹介します。
代表値（measure of central tendency）
データの分布の特徴を表す値
- 中央値（median）
データの大きさの順に並べたときにちょうど中央にくる値*1。
- 最頻値（mode）
度数分布において最も高い度数を示す値。
散布度 (dispersion)
データの散らばりぐあいを表す値
- 標準偏差（standard deviation）
標準偏差は、分散のルートをとった値。引数を母集団全体であると見なして、母集団の標準偏差を求めます。
\[ s = \sqrt{ s^2 } \]
- 四分位点
四分位点とはデータを昇順に並べたときに 25%, 75% の位置の値です。ボックスプロット（箱髭図）では、箱の上辺・底辺がこれに該当します。
参考：Excelでの関数表記
- 分散（population variance）
=VAR.P(範囲)
- 標準偏差（standard deviation）
=STDEV.P(範囲)
- 付記：Excel の関数名について
- XXXX.P（Population）
データを母集団とみなしてそのまま計算した値
- XXXX.S（Sample）
データをサンプルとみなして母集団の値を推定した値
共分散
共分散とは「国語の点数 X」と「数学の点数 Y」のような２組の対応するデータについて「X の偏差 × Y の偏差」の平均 を取った値です。
\[ s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y} ) \]
共分散の値から、２組のデータについて以下のような説明ができます。
- 共分散の値が正：X が大きいときに Y も大きくなる傾向がある
- 共分散の値が 0： X と Y には関係がない
- 共分散の値が負：X が大きくなると Y が小さくなる傾向がある
相関係数
2つの変数の間の関係を測る指標で、「身長が高い人は体重が大きい」、「数学の点数が高い人は物理の点数も高い」など、「ああであれば、こうである」ということの程度を示します。相関係数が正のとき確率変数には正の相関が、負のとき確率変数には負の相関があるといいます。
スプレッドシート(EXCEL)では、以下のようにして求められます。とても簡単ですが「あれとこれとには連動関係がある」ということを示すには強い味方です。
=CORREL（範囲1, 範囲2）
注）PEARSON（範囲1, 範囲2）でも同じ結果が得られます。
\[ r = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) }{ \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2} } \cdot \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(y_{i} - \bar{y})^{2}}} = \frac{ s_{xy} }{ s_{x} \cdot s_{y} } \]
言葉で書く方がわかりやすいかも・・
\[ r = \frac{(xとyの共分散) }{ (xの標準偏差) \times (yの標準偏差) } \]
で、数値からわかる２つの変数の関係は、共分散のそれと同じなのですが、相関係数は「変数のスケール変換に対して不変である」という性質があって、以下のように値を理解することができます。
-
\(r\)
は -1.0 から +1.0 までのいずれかの値をとる
-
\(| r |\)
が 1.0 に近いほど相関が強く、0に近いほど相関が弱い
レポート等で相関の有無について語る場合、一般的な目安は以下です。
- | r | = 0.7～1.0 かなり強い相関がある
- | r | = 0.4～0.7 やや相関あり
- | r | = 0.2～0.4 弱い相関あり
- | r | = 0～0.2 ほとんど相関なし
-
\(r\)
が正の場合は「正の相関」、負の場合は「負の相関（逆の相関）がある
- 注意：相関係数が０でも「何らかの関係がある」場合があります。
たとえば、２次元の散布図で分布がV字型になる場合、相関は０に近くなりますが、これは、左のグループと右のグループに分けることで、それぞれのグループにおいて負の相関と、正の相関がある・・ということになります。相関をみる場合は、散布図で状態を目視して状況を見極めることが重要です。
参考：GoogleImage:相関係数
クロス集計
２つないし３つの情報に限定して、データの分析や集計を行なう方法。 縦軸と横軸に項目を割り振って、項目間の相互関係を視覚的に見やすくしたものです。アンケート調査の手法としては、ポピュラーなものの一つです。
参考：GoogleImage:クロス集計
