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  • 1 (2023-10-05 (木) 14:35:52)

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相関

Correlation

相関とは、2つの変数の間の連動を意味する言葉で、「身長が高い人は体重が大きい」、「数学の点数が高い人は物理の点数も高い」など、「ああであれば、こうである」という関係があることを意味します。相関の程度は相関係数という値で測ることができて、相関係数が正のとき確率変数には正の相関が、負のとき確率変数には負の相関があるといいます。

ちなみに相関は、複数の物事（変数）をシンプルに整理したい（次元を落としたい）場合に重要な指標となります。この場合、独立性の低いもの=相関の高いもの同士をグループ化するとともに、グループ間の独立性が高くなるように整理すると、物事が理解しやすくなります。

散布図で言うと、分布楕円の長軸・短軸が、直交する座標軸と一致する（すなわち２つのグループ間が無相関になる）のが理想です。

共分散

相関係数の計算式を紹介する前に「共分散」について説明します。共分散とは「国語の点数 X」と「数学の点数 Y」のような２組の対応するデータについて「X の偏差 × Y の偏差」の平均 を取った値です。

共分散の値から、２組のデータについて以下のような説明ができます。

• 共分散の値が正：X が大きいときに Y も大きくなる傾向がある
• 共分散の値が 0： X と Y には関係がない
• 共分散の値が負：X が大きくなると Y が小さくなる傾向がある
  
  

相関係数

相関係数の計算は、共分散の計算の延長にあります。

言葉で書く方がわかりやすいかも・・

で、数値からわかる２つの変数の関係は、共分散のそれと同じなのですが、相関係数は「変数のスケール変換に対して不変である」という性質があって、以下のように値を理解することができます。

• $r$ は -1.0 から +1.0 までのいずれかの値をとる
• $|r|$ が 1.0 に近いほど相関が強く、0に近いほど相関が弱い
  レポート等で相関の有無について語る場合、一般的な目安は以下です。
  • | r | =　0.7～1.0　　かなり強い相関がある
  • | r | =　0.4～0.7　　やや相関あり
  • | r | =　0.2～0.4　　弱い相関あり
  • | r | =　0～0.2　　　ほとんど相関なし
• $r$ が正の場合は「正の相関」、負の場合は「負の相関（逆の相関）がある

• 注意：相関係数が０でも「何らかの関係がある」場合があります。
  たとえば、２次元の散布図で分布がV字型になる場合、相関は０に近くなりますが、これは、左のグループと右のグループに分けることで、それぞれのグループにおいて負の相関と、正の相関がある・・ということになります。相関をみる場合は、散布図で状態を目視して状況を見極めることが重要です。

• スプレッドシート(EXCEL)では、以下のようにして求められます。とても簡単ですが「あれとこれとには連動関係がある」ということを示すには強い味方です。

  =CORREL（範囲1, 範囲2）
  注）PEARSON（範囲1, 範囲2）でも同じ結果が得られます。

参考：GoogleImage:相関係数