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二項分布

Binomial Distribution


二項分布とはベルヌーイ試行を独立に n 回行ったときの成功回数を確率変数とする離散型の確率分布です。分布を特徴づけるパラメータ（母数） n, p を使って、 $X〜B(n,p)$ と書きます。

ベルヌーイ試行

ベルヌーイ試行とは、「コインを投げたときに表が出るか裏が出るか」のような結果が２種類となる試行、別の言い方をすれば「結果が成功か失敗かのいずれか」である試行のことをいいます。一般に「成功」の確率変数「1」、「失敗」の確率変数を「0」として、それぞれの確率を次のように表します（各試行における成功確率 p は一定であることを前提とします）。

確率質量関数*1

• 試行回数 n回、成功確率 p の二項分布は、以下のように書けます。
  $$P(X=k)={}_n{C}_r\mathrm{・}{p}^k(1-p{)}^{n-k} （k=0,1,2,\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・},n）$$
  $${}_n{C}_r=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

期待値と分散

• 期待値
  $$E(X)=np$$

• 分散
  $$V(X)=np(1-p)$$