Statistics/Descriptive のバックアップ(No.3) - OpenSquareJP

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記述統計

Descriptive Statistics

記述統計とは、収集したデータを要約（平均、分散などを計算）して対象の特徴・性質を語る統計のことで、２変数の相関を求めたり、クロス集計表を作成したりと、多変量のデータを扱う作業もこれに含まれます。また、データを分かりやすく記述するという意味では、グラフや表を作成したり、グラフや表からから様々な特徴・性質を抽出する作業も記述統計の役割になります。なお、記述統計は、推測統計より古くからあるもので、標本と母集団を同一視して考えます。推測統計の登場後は、古典統計といわれるようにもなりました。

なお、以下の各事項に記載された関数式は Excel における表記です。

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代表値（measure of central tendency）

データの分布の特徴を表す値

平均（mean）
データの総和をデータ数で割った値。もっとも一般的な代表値。
```
=AVERAGE(範囲)
```
$\bar{x} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + ・・ + x_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$

中央値（median）
データの大きさの順に並べたときにちょうど中央にくる値。
```
=MEDIAN(範囲)　で求まります。
```
例えば、平均年収という数字は、実感とは合いません。理由は「一部の大富豪が平均値を押し上げる」ためで、年収のような数字を代表するには、中央値の方が実感に近いものになります。近年の日本全体の平均年収は445万、中央値は396万で、大きな開きがあります。

最頻値（mode）
度数分布において最も高い度数を示す値。
```
=MODE(範囲)　で求まります。
```

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散布度 (dispersion)

データの散らばりぐあいを表す値

分散（population variance）
偏差平方和をデータ数で割った値。対象を母集団とする前提です。
```
=VAR.P(範囲)
```
$s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$

標準偏差（standard deviation）
標準偏差は、分散のルートをとった値。引数を母集団全体であると見なして、母集団の標準偏差を求めます。
```
=STDEV.P(範囲)
```
$s = \sqrt{s^{2}}$

平均偏差
偏差（平均からの差）の絶対値の平均。データ全体の平均値に対する個々のデータの絶対偏差の平均を求めます。
```
=AVEDEV(範囲)
```
$m d = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |$

四分位点
四分位点とは、データを昇順に並べたときに、25%, 75% の位置にくる値です。ボックスプロット（箱髭図）では、箱の上辺・底辺がこれに該当します。

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共分散

共分散とは「国語の点数 X」と「数学の点数 Y」のような２組の対応するデータについて「X の偏差 × Y の偏差」の平均を取った値です。

s_{x y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

共分散の値から、２組のデータについて以下のような説明ができます。

共分散の値が正：X が大きいときに Y も大きくなる傾向がある
共分散の値が 0： X と Y には関係がない
共分散の値が負：X が大きくなると Y が小さくなる傾向がある

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相関係数

2つの変数の間の関係を測る指標で、「身長が高い人は体重が大きい」、「数学の点数が高い人は物理の点数も高い」など、「ああであれば、こうである」ということの程度を示します。相関係数が正のとき確率変数には正の相関が、負のとき確率変数には負の相関があるといいます。

スプレッドシート(EXCEL)では、以下のようにして求められます。とても簡単ですが「あれとこれとには連動関係がある」ということを示すには強い味方です。

=CORREL（範囲1, 範囲2）
注）PEARSON（範囲1, 範囲2）でも同じ結果が得られます。

r = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}} = \frac{s_{x y}}{s_{x} \cdot s_{y}}

言葉で書く方がわかりやすいかも・・

r = \frac{(x と y の 共 分 散)}{(x の 標 準 偏 差) \times (y の 標 準 偏 差)}

で、数値からわかる２つの変数の関係は、共分散のそれと同じなのですが、相関係数は「変数のスケール変換に対して不変である」という性質があって、以下のように値を理解することができます。

$r$ は -1.0 から +1.0 までのいずれかの値をとる
$| r |$ が 1.0 に近いほど相関が強く、0に近いほど相関が弱い
レポート等で相関の有無について語る場合、一般的な目安は以下です。
- | r | =　0.7～1.0　　かなり強い相関がある
- | r | =　0.4～0.7　　やや相関あり
- | r | =　0.2～0.4　　弱い相関あり
- | r | =　0～0.2　　　ほとんど相関なし
$r$ が正の場合は「正の相関」、負の場合は「負の相関（逆の相関）がある

注意：相関係数が０でも「何らかの関係がある」場合があります。
たとえば、２次元の散布図で分布がV字型になる場合、相関は０に近くなりますが、これは、左のグループと右のグループに分けることで、それぞれのグループにおいて負の相関と、正の相関がある・・ということになります。相関をみる場合は、散布図で状態を目視して状況を見極めることが重要です。

参考：GoogleImage:相関係数

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クロス集計

２つないし３つの情報に限定して、データの分析や集計を行なう方法。縦軸と横軸に項目を割り振って、項目間の相互関係を視覚的に見やすくしたものです。アンケート調査の手法としては、ポピュラーなものの一つです。
参考：GoogleImage:クロス集計