Statistics/Descriptive

記述統計

Descriptive Statistics

記述統計とは、収集したデータを要約（平均、分散などを計算）して対象の特徴・性質を語る統計のことで、２変数の相関を求めたり、クロス集計表を作成したりと、多変量のデータを扱う作業もこれに含まれます。また、データを分かりやすく記述するという意味では、グラフや表を作成したり、グラフや表からから様々な特徴・性質を抽出する作業も記述統計の役割になります。なお、記述統計は、推測統計より古くからあるもので、標本と母集団を同一視して考えます。推測統計の登場後は、古典統計といわれるようにもなりました。

統計量

記述統計における統計量

得られたデータに何らかの計算を行って得られる値を統計量と言います。例えば、平均や分散は代表的な統計量で、具体的な計算について以下の節で順次紹介します。

代表値（measure of central tendency）

データの分布の特徴を表す値

• 平均（mean）
  データの総和をデータ数で割った値。もっとも一般的な代表値。
  \[ \bar{x} = \frac{1}{n}( x_1 + x_2 +・・+ x_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]

• 中央値（median）
  データの大きさの順に並べたときにちょうど中央にくる値*1。

• 最頻値（mode）
  度数分布において最も高い度数を示す値。
  
  

散布度 (dispersion)

データの散らばりぐあいを表す値

• 分散（population variance）
  偏差平方和をデータ数で割った値。対象を母集団とする前提です。
  \[ s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

• 標準偏差（standard deviation）
  標準偏差は、分散のルートをとった値。引数を母集団全体であると見なして、母集団の標準偏差を求めます。
  \[ s = \sqrt{ s^2 } \]

• 平均偏差
  偏差（平均からの差）の絶対値の平均。データ全体の平均値に対する個々のデータの絶対偏差の平均を求めます。
  \[ md = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i -\bar{x}| \]

• 四分位点
  四分位点とはデータを昇順に並べたときに 25%, 75% の位置の値です。ボックスプロット（箱髭図）では、箱の上辺・底辺がこれに該当します。
  
  

参考：Excelでの関数表記

• 平均（mean）

  =AVERAGE(範囲)

• 中央値（median）

  =MEDIAN(範囲)　

• 最頻値（mode）

  =MODE(範囲)

• 分散（population variance）

  =VAR.P(範囲)

• 標準偏差（standard deviation）

  =STDEV.P(範囲)

• 平均偏差

  =AVEDEV(範囲)

• 付記：Excel の関数名について
  • XXXX.P（Population）
    データを母集団とみなしてそのまま計算した値
  • XXXX.S（Sample）
    データをサンプルとみなして母集団の値を推定した値