Statistics/Inferential

推測統計

Inferential Statistics

推測統計とは、無作為抽出されたデータから母集団の特徴・性質を推定する統計のことで、推計統計とも言います。記述統計と異なり、集められたデータは大きな母集団の中の小さな標本に過ぎないと考えます。

一般に母集団というものは観念的な存在で、現実に観測できるのは標本です。例えば「視聴率」の調査に関して言えば、「全世帯」が母集団で、「調査世帯」が標本です。

母集団：考察の対象となる特性をもつすべてのものの集団（日本工業規格）
標　本：一つ以上の抽出単位からなる母集団の部分集合（日本工業規格）

100人に聞きました。AとBどっちが好き・・
＞「Aが好き」と答えた人が70人ということで、
Aが好きな人が多いことがわかりました。

という話は、それはそれでいいのですが、この結果をもって「日本人はAが好き」とか「人間というものはAが好き」とは断言できません。

一般に多くの実験研究が、標本調査をもって、それを一般論に拡大しています。実は、これはあくまでも「確率的にそうである可能性が高い」という話で、ひょっとしたら間違いかもしれません。ただ、実際には母集団をすべて調べるわけにはいかないので、標本から得られる統計量を根拠に、「ああであればこうである」といった記述がなされているのです。

推測統計というのは、文字通り「推測」。あくまでも確率的な問題として、物事の関係を科学的に語るための統計手法です。

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統計量

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推測統計における母数

推測統計では母集団の特性をあらわす数を母数（parameter）と言います。
推測される母数には、以下のようなものがあります。

母平均： \(μ\)
母分散： \(σ^2\)
母標準偏差： \(σ\)

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推測統計における統計量

推測統計では「標本を要約して母数の推測に用いるもの」を統計量(statistic)と言います。標本として得られたデータに対しで記述統計と同じ計算方法で算出されるものです。

標本平均： \( \bar{x} \)
標本分散： \( s^2 \)
標本標準偏差： \( s \)

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推測統計における母数の推定量

平均（＝標本平均）
一般に、標本平均の値をそのまま母平均の推定量とします。
\[μ = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]

不偏分散（unbiased variance）
不偏分散*1は、標本の偏りを除いて母集団の分散を推定した値（母分散の推定量）です。一般に標本分散（の期待値）は母分散に比べて小さくなるので、それをそのまま推定に使うのではなく「偏差平方和をn - 1で割った値」をもって推定します*2。
\[u^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

不偏標準偏差（Unbiased standard deviation）
不偏分散のルートをとった値。引数を標本と見なし、標本に基づく母集団の標準偏差の推定値を求めます。
\[ u = \sqrt{ u^2 } \]

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参考：記号の使い分け

言葉は似ていても意味が異なるので、母分散 \(σ^2\) 、標本分散 \(s^2\) 、不偏分散 \(u^2\) など、区別のために異なる記号を用いるのが通例です。

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参考：Excelでの関数表記

平均（＝標本平均）
```
=AVERAGE(範囲)
```

不偏分散（unbiased variance）
```
=VAR.S(範囲)
```

不偏標準偏差（Unbiased standard deviation）
```
=STDEV.S(範囲)
```

付記：Excel の関数名について
- XXXX.P（Population）
  データを母集団とみなしてそのまま計算した値
- XXXX.S（Sample）
  データをサンプルとみなして母集団の値を推定した値

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統計的な推定

統計的な推定には、点推定と区間推定があります。

点推定
母集団が正規分布であると想定して、推定平均と推定標準偏差を求めます。

区間推定
点推定におけるパラメータのばらつきや信頼区間を示すことで、例えば「95%の確率で、◯◯の値は、a から b の間である」といった推定を行うものです。95%信頼区間、99%信頼区間などが用いられます。

ちなみに・・
母分散（ \(σ^2\) ）が既知の場合で、母集団が正規分布と仮定されるとすると、母平均（ \(μ\) ）の95%信頼区間は、標本平均（ \(\bar{x}\) ）を用いて、以下のように書けます。
\[ \bar{x} - 1.96 \sqrt{\frac{σ^2}{n}} ≦ μ ≦ \bar{x} + 1.96 \sqrt{\frac{σ^2}{n}} \]

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